求微分方程y"-y✀=x的通解

2025-01-20 14:53:53

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回答1：

y”=y'+x
y”-y'=x
齐次的特征方程
r^2-r=0
r=1,r=0
齐次通解
y=c1e^x+c2
设特解为
y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
y''=2a
代入得
2a-(2ax+b)=x
2a=-1,2a-b=0
a=-1/2,b=-1
c待定
所以特解是
y=-1/2x^2-1x+c
因此非齐次通解是
y=c1e^x+c2-1/2x^2-1x+c

回答2：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答3：

特征方程
p²-p=0
p(p-1)=0
p=0或1
齐次通解为
C1e^(x)+C2
一个特解为
设y=ax²+bx
y'=2ax+b
y''=2a
y''-y'=-2ax+(2a-b)=x
解得
a=-1/2
b=-1
则
一个特解为-x²/2-x
通解为C1e^(x)+C2-x²/2-x
不明白可以追问！