求解X-sinX的等价无穷小?

计算过程如下：

x→0 时

x - sinx 

= x - [x - (1/3)x^3 + o(x^3)] 

= (1/3)x^3 - o(x^3) ~ (1/3)x^3

在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

扩展资料：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

首先对X-sinX求导，
显然(X-sinX)'=1-cosx，
而1-cosx为0.5x²的等价无穷小，
即X-sinX的等价无穷小为0.5x²的原函数，
对0.5x²积分得到1/6 x^3
所以X-sinX的等价无穷小为1/6 x^3

计算过程如下：

x→0 时

x - sinx 

= x - [x - (1/3)x^3 + o(x^3)] 

= (1/3)x^3 - o(x^3) ~ (1/3)x^3

在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

分析过程如下：

用函数的泰勒展开式：sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。

因此当 x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

或者：先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下：

[sinx-x]’=cosx-1，cosx-1等价于-0.5x²，∫-0.5x²=-1/6x³。

扩展资料：

常用等价无穷小

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

把sinx Taylor展开得到x-x^3/6+o(.), 然后就看出等价无穷小是x^3/6