怎么求sinx-x的等价无穷小？

x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

分析过程如下：

用函数的泰勒展开式：sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。

因此当 x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

或者：先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下：

[sinx-x]’=cosx-1，cosx-1等价于-0.5x²，∫-0.5x²=-1/6x³。

扩展资料：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

常用等价无穷小

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

分析过程如下：

用函数的泰勒展开式：sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。

因此当 x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。

或者：先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下：

[sinx-x]’=cosx-1，cosx-1等价于-0.5x²，∫-0.5x²=-1/6x³。

扩展资料：

常用等价无穷小

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

sinx-x求导为cosx-1
而cosx-1=-x^2/2
因此sinx-x的无穷小为-x^3/6

泰勒展开法。 sinx＝x-x³/陆+O(x³)，所以(一+x²)sinx-x＝x²sinx+(sinx-x)=x²(x-x³/陆+O(x³))-x³/陆+O(x³)＝5x³/陆+O(x³)，所以x→0时，(一+x²)sinx-x等价于5x³/陆。

把sinx展开，sinx -x=x-x^3/3!+x^5/5!-... -x=-x^3/3!+x^5/5!-...，所以，等价无穷小是：-x^3/6