设数列{an}满足a1+3a2+3的平方a3+....+3的n-1次方an=n⼀3. （1）求数列

解：1、
因为a1+3a2+3^2a3+.....3^(n-2)a(n-1)+3^(n-1)an=n/3
所以有a1+3a2+3^2a3+.....3^(n-2)a(n-1)=（n-1)/3
把上两式相减得3^(n-1)an=1/3
所以an=1/3^n=3^(-n)
2、
因为bn=n/an=n*3^n
于是有
Sn=b1+b2+...+bn=1*3+2*3^2+3*3^3+---++n*3^n
则 3Sn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+---(n-1)3^n+n*3^(n+1)
把上两式错项相减得-2Sn=3+3^2+3^3+......+3^n-n3^(n-1)
-2Sn=3(3^n-1)/2-n*3^(n+1)
Sn=-3(3^n-1)/4-n*3^(n+1) /2

• 令Tn=a1+3a2+3的平方a3+....+3的n-1次方an

　　Tn-T(n-1)=3的n-1次方an=n/3-(n-1)/3

　　an=1/3^n

• bn=n*3^n

  Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+---+n*3^n                   1

  3Sn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+---+n*3^(n+1)       2

  上面的1-2得：

  -2Sn=3+3^2+3^3+3^4+---+3^n-n*3^(n+1) 

  -2Sn=3(3^n-1)/2-n*3^(n+1) 

  Sn=-3(3^n-1)/4-n*3^(n+1) /2

• 典型的错位相减法