15问答网 > 数列{an}满足a1+3a2+3方a3+···+3的n-1次方an=n⼀3

数列{an}满足a1+3a2+3方a3+···+3的n-1次方an=n⼀3

1.求数列{an}的通项公式 2.设bn=n/an，求数列{bn}的前n项和Sn

2025-01-19 23:20:43

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回答1：

a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-1)*an=n/3..............(1)
n=1时，a1=1/3,
n>1时，a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-2)*an=(n-1)/3...(2)
(1)-(2),得3^(n-1)*an=1/3,
an=1/(3^n)
n=1时也符合此式，所以通项公式是an=1/(3^n).

bn=n/an=n*3^n.
Sn=1*3^1+2*3^2+...+n*3^n.............(3)
3Sn=1*3^2+2*3^3+...+n*3^(n+1)........(4)
(4)-(3),得2Sn=-(3^1+3^2+...+3^n)+n*3^(n+1)
=n*3^(n+1)-[3^(n+1)-3]/2
=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/2,
Sn=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/4.