用数学归纳法证明 不论n为何自然数 5 的n+1次方+2*3的n次方+1都能被8整除

证明如下:(1)n=1 5 的n+1次方+2*3的n次方+1 =32 能被8整除（2）设n=k时 能被8被整除 即5^(k+1)+2*3^K +1 能被8整除 n=k+1时 5^(K+2)+2*3^(K+1)+1=5[5^(k+1)+2*3^K +1]-4*(3^K+1) 上式中 由n=k能被8整除得出前一项也能被8整除 而3^K+1恒为偶数 所以能被2整除 故4*(3^K+1)能被8整除 所以n=K+1时候 也能被8整除综合(1)和(2) 得证

证明：
不妨令A(n)=5^(n+1)+2*3^n+1 （n为自然数）；
n=1时，A(1)=5^(1+1)+2*3^1+1=25+6+1=32=8x4 ，能被8整除；
假设：当n=k时，A(k)=5^(k+1)+2*3^k+1 ，(k>=1) ， 能被8整除成立；
即：存在自然数M使得：A(k)=8M ； ①
由于A(k)>=A(1)=32，即：8M>=32，所以：自然数M>=4。
则：当n=k+1时，A(k+1)=5^((k+1)+1)+2*3^(k+1)+1 ；
A(k+1)-A(k)=[5^((k+1)+1)+2*3^(k+1)+1] - [5^(k+1)+2*3^k+1]
=[5^(k+2)-5^(k+1)] + [2*3^(k+1)-2*3^k]
=4x5^(k+1)+4x3^k
=4[5^(k+1)+3^k] ②
令N=5^(k+1)+3^k
N=5^(k+1)+3^k=4x5^k+5^k+3^k=偶数+5^k+3^k=偶数+(4+1)^k+(4-1)^k
由二项式展开式易知：(4+1)^k+(4-1)^k为偶数。
则：N=偶数+偶数=2P ③
(P为自然数) N=2P=5^(k+1)+3^k>=5^(1+1)+3^1=28 ； P>=14 。
将①③代入②可得：
A(k+1)=A(k)+8P=8(M+P) （其中，M>=4； P>=14 ）
即：当n=k+1时，A(k+1)=5^((k+1)+1)+2*3^(k+1)+1 ；能被8整除 。

综上：不论n为何自然数 5 的n+1次方+2*3的n次方+1都能被8整除

当N=1时 5^(1+1)+2*3^1+1=25+2*3+1=32/8=4 成立设当N=K时5^(k+1)+2*3^k+1也成立当N=K+1时5(k+1+1)+2*3(k+1)+1=5*5^(k+1)+2*3*3^k+1=5(5^(k+1)+2*3^k+1)-2*2*3^k-4=5(5^(k+1)+2*3^k+1)-4(3^k-1)3^k永为奇数，3^k-1为偶数4(3^k-1)能被8整除当N=K+1时 也成立不论n为何自然数 5 的n+1次方+2*3的n次方+1都能被8整除