C= [sin(2⼀x)+cos(1⼀x) ]^x 求C的极限

你好！
lim(x→∞) [cos(1/x)+sin(2/x)]^(1/x),
=lim(x→∞) [cos(1/x)+2sin(1/x)cos(1/x)]^(1/x)
=lim(x→∞) {cos(1/x)[1+2sin(1/x)cos(1/x)]}^(1/x)
=lim(x→∞) [cos(1/x)]^(1/x)*lim(x→∞) [1+2sin(1/x)]^(1/x)
=1*lim(x→∞) [1+2sin(1/x)]^{1/[2sin(1/x)]}*[2sin(1/x)]/x
=e^2lim(x→∞) sin(1/x)/x
=e^0
=1

修改如下：
其实就是反复用这个lim（1+x）^1/x=e,(x->0,e为一个常数)结论求 1^无穷大 的类型
在x->无穷大的前提下 令 t=1/x，t—>0(后面写着麻烦，就当成默认）
用到了等价无穷小 sint～tant～t, 以及 1-cost～ 1/2 t^2
lim （sin2t+cost）^(1/t)= lim 【cost(2sint+1)】^（1/t）
= lim (1+2sint)^(1/t) * lim (cost)^(1/t)
lim (cost)^(1/t)=lim（1+（cost-1））^{【1/(cost-1)】*(cost-1)/t}
=lim e^(-1/2 *t)
=1
lim (1+2sint)^(1/t)=lim(1+2sint)^(1/2sint)*(2sint/t)
=lim e^(2sint/t)
=e^2
所以lim （sin2t+cost）^(1/t)= e^2
所以C= [sin(2/x)+cos(1/x) ]^x的极限为e^2，当x趋向于无穷

1.lim(x->0) [(1/sin^2 x)-1/x^2] =lim(x->0) (x^2-sin^2 x)/(x^2 *sin^2 x)
一次罗比达=lim(x->0)(2x-sin2x)/4x^3 再次罗比达=lim(x->0)(2-2cos2x)/12x^2
最后一次罗比达=lim(x->0) 4sin2x/24x= 1/3

2.1^oo型，lim(x->0+) [cos根号x ]^(π/x)=lim(x->0+) [1+cos根号x -1 ]^(π/x)=lim(x->0+) [1+cos根号x -1 ]^1/[cos根号x -1]*(π/x)[cos根号x -1]=lim(x->0+) e^[π*(cos根号x -1)/x]=lim(x->0+) e^π*(-1/2 x)/x=e^(-π/2)
(注：1-cosx在x趋于0时等价于x^2/2)

楼上的是对的，后面的人回答都是浪费时间了。