求极限limx→∞时,(sin2⼀x+cos1⼀x)的x次方

2025-01-19 20:45:07
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回答1:

J(x) = [sin(2/x)+cos(1/x)]^(x)
lnJ(x) = ln[sin(2/x)+cos(1/x)]/(1/x) 当 x->∞ 时,lnJ(x) = 0/0 不定式,采用洛必达法则
lim(x->∞) lnJ(x)
= lim(x->∞) [-2(1/x^2)cos(2/x)+(1/x^2)sin(1/x)]/{[sin(2/x)+cos(1/x)](-1/x^2)}
= lim(x->∞) [2cos(2/x)-sin(1/x)]/[sin(2/x)+cos(1/x)]
= 2
得到: lim(x->∞) lnJ(x) = 2
即 : lim(x->∞) J(x) = e^2
(近似等于 ≈ 7.3890)