如何用留数计算

分享一种解法。设f(z)=1/(z²sinz)。显然，在丨z丨=1的域内，z=0是其一个三阶极点。
∵sinz=z-z³/6+z^5/(5!)+…+[(-1)^n]z^(2n+1)/[(2n+1)!]+…，n=0,1,2，…，∞，
∴f(z)=(1/z³)/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]。
而，1/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]=1/[1-z²/6+z^4/(5!)+…]=1+z²/6+7z^4/360+…，
根据留数的定义，n=-1时，系数an即f(z)的留数。∴Res[f(z),0]=1/6。
∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),0]=πi/3。
供参考。

还有一种就是展开成洛朗级数的方法：比如，f(z)=1/[z·(z-1)2] 求：（1）res[f(z),0]，（2）res[f(z),1] （1）把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数： f(z)=1/z·1/(z-1)2=1/z·(1+2z+3z2+……) 展开式的C(-1)=1 所以，res[f(z),0]=1 （2）把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数： f(z)=1/(z-1)2·1/[1+(z-1)] =1/(z-1)2·[1-(z-1)+(z-1)2-(z-1)3+……] 展开式的C(-1)=-1 所以，res[f(z),1]=-1