15问答网 > y1=3+x^2、y2=3+x^2+e^(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3=x

y1=3+x^2、y2=3+x^2+e^(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3=x

2025-01-20 16:19:51

推荐回答（2个）

回答1：

y4=y2-y1=e^-x是其次的特解
根据微分方程解的结构定理
通解为：
y=c1y3+c2y4+y1=c1x+c2(e^-x)+3+x^2
两个非齐次方程的特解的差是对应的齐次方程的解，这个是方程的性质，证明也很容易，书中有。
希望帮到你，望采纳，谢谢

回答2：

由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知：y1-y3=e-x是齐次方程的解，
而y2-e-x=xex仍为非齐次方程的特解，
进而得：y1-xex=e2x为齐次方程的解，
即有e2x与e-2x是相应齐次方程的两个线性无关的解，且xex是非齐次方程的一个特解，
故所求方程的通解为：y=xex+c1e2x+c2e-x，
从而：
y′=ex+xex+2c1e2x?c2e?x，
y″=2ex+xex+4c1e2x+c2e?x，
消去c1、c2得所求方程为：
y″-y′-2y=ex-2xex．