地下水系统的随机管理

由于地下水系统管理模型与模拟模型的紧密相关性，上一章重点讨论了随机地下水模拟模型的建立和求解技术。地下水系统管理模型的数学表达式一般由两大部分组成，即目标函数和约束条件^［33］：

目标函数

地下水系统随机模拟与管理

约束条件

地下水系统随机模拟与管理

地下水系统管理模型根据不同的分类依据可以划分为多种类型。根据所管理的地下水系统中参数的分布形式可划分为集中参数系统管理模型和分布参数系统管理模型。根据地下水系统的状态和时间的关系划分为稳态地下水管理模型和非稳态地下水管理模型。根据管理的目标可划分为水力管理模型、水质管理模型、经济管理模型等。根据管理问题的目标数量可划分为单目标地下水管理模型和多目标地下水管理模型。根据影响地下水系统的相关参数性质划分为确定性地下水管理模型、模糊地下水管理模型和随机地下水管理模型。随机地下水管理模型只是近年来才引起人们的广泛关注，也是本章重点讨论和研究的地下水管理模型。

5.3.1 期望值模型

对于随机问题，虽然我们不知道何种具体事件即将发生和出现，但我们总可以通过对大量的随机事件的分析和研究而掌握随机事件发生的规律和特征指标。而对于更多的随机问题，我们并不关心某个具体事件，更多关心的是随机变量的统计特征（如均值和方差等）。显然，所谓期望值模型就是在期望值约束条件下，使目标函数的概率期望达到最优的模型。单目标期望值模型一般可表示为：

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式中：X——一个n维决策向量；

ξ——一个t维随机向量；

g_j（X，ξ）——P个随机不等式约束函数；

f（X，ξ）——目标函数；

h_k（X，ξ）——q个随机等式约束条件。

E——表示期望值算子。

如设随机向量ξ的概率密度函数为φ（ξ），则有：

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若ξ为离散型随机变量且其分布函数为P_r（ξ=ξ_i）=θ_i，则有：

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式中：I——序号集。

作为单目标期望值模型的推广，多目标期望值模型可写成如下形式：

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式中：m——目标函数的个数。

5.3.2 随机地下水管理的期望值模型

为不同目标而设计的地下水管理模型有所不同，本书以常见的以水量为决策变量以水位为状态变量的水力管理模型为例进行了分析。这类模型的典型例子之一是地下水的优化疏干问题，即在矿山建设和许多其他地下工程活动过程中，需要在一定范围内对地下水进行疏干或降压，并希望以最小的疏水量来满足工程要求（约束条件），这种问题的线性规划模型可表示为：

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式中：［C］=［C₁，C₂，…，C_n］为目标函数的价格系数向量。

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为约束条件的响应系数矩阵。

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为决策变量向量。

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为m个控制点水头约束要求条件向量。

如果以总疏水量最小为目标函数，以控制点水位降深为约束条件，这时管理模型的价格系数向量为［1，1，…，1］，管理模型式（5.30）可用另外一种形式表示为：

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由于（5.31）式中的β_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为管理模型的响应系数，它来自于地下水随机模拟模型，所以它是影响地下水系统行为的随机变量的函数，故，β_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）亦为随机变量。随着随机变量x_i（i=1，2，…，N）的不同实现，β_ij也将随机地出现不同的值。因此，取β_ij的任何一组值代入（5.31）式求解管理模型似乎都欠合理。一个很自然的想法就是取β_ij多次实现的期望值作为管理模型的响应系数，从而形成随机地下水管理模型的期望值模型。

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期望值模型简单明确，但它无法反映随机变量的方差问题，无法反映方差与管理结果之间的关系问题，从而给所得优化结果的风险评价带来了困难。

5.3.3 机会约束随机管理模型

机会约束随机规划和管理模型最早由Charnes和Cooper^［46］提出，主要是针对约束条件中含有随机变量，且必须在观测到随机变量的实现之前做出决策的情况。考虑到所作决策在不利情况发生时（小概率事件发生时）可能不满足约束条件而采取的一种原则：即允许所作决策在一定程度上不满足约束条件，但该决策应使约束条件成立的概率不小于某一置信水平α。

带有随机参数的机会约束管理模型一般可表示为：

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式中：X——n维决策向量；

ξ——t维随机向量；

f（X，ξ）——目标函数；

α_i（i=1，2，…，m）——事先给定的随机约束条件的置信水平；Pr{·}———表示{·}中事件成立的概率；

g_j（X，ξ）——约束方程左端函数式（j=1，2，…，m）。

对于不同的管理和规划问题，g（X，ξ）的表达式是多种多样的。其中最常见的表达式为：

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将（5.34）式代入（5.33）式得具有多个约束方程的机会约束优化管理模型：

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令：

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则有：

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式中：E（·）——期望值算子；

var（·）——方差算子。

注意到变量：

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服从标准正态分布N（0，1），且不等式：

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因此，约束条件=1，2，…，m 等价于：

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式中：η服从标准正态分布。

若要式（5.39）成立，则必有下式成立：

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也必有下式成立：

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至此，我们便可得到机会约束优化管理模型：

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上述规划管理模型显然反映了有关随机变量的均值、方差及对约束条件满足的置信水平等因素。

5.3.4 机会约束随机地下水流管理模型

对于一个分n个疏干阶段的有约束地下水疏干优化确定性管理模型一般可表示为：

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式中：Z——目标函数（总疏水量最小）；

β（i，j，k）——第i口井在第k时段末对水位约束点j所产生的单位脉冲降深响应；

Q（i，n-k+1）——第i口井在n-k+1时段的疏水量；

S（j，k）——k时段末对控制点j的疏干要求。

如果考虑水文地质条件的随机性特点，则上述有m口疏水井，分n个疏干阶段的地下水疏干随机机会约束管理模型可表示为：

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经过类似于方程（5.44）的推导后，可得到相应的机会约束随机地下水管理模型如下：

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r（i，j，k）——方差响应函数。对这一量的物理含义可从下列推导中较清楚地反映

出来。

5.3.5 r（i，j，k）的推导及物理意义

由泰斯井函数可得：

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当水文地质参数T和μ存在随机误差时，可将其表示为：

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式中：T——导水系数；——导水系数均值；

μ——储水系数；——储水系数均值；

ΔT——导水系数偏离均值的差量；

Δμ——储水系数偏离均值的差量。

对S在均值参数处进行一次Taylor展开可得：

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令：

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则：

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令Q为单位量时的ΔS=r，则对于任意的Q，ΔS为r·Q（因为ΔS是Q的线性函数）。对于由m口抽水井在n个时段对控制点j的单位脉冲降深方差为：

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若第i口井在时段n-k+1的抽水量为Q（i，n-k+1），则降深的总方差为：

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前面所讨论的随机地下水模拟与管理模型中所涉及的随机变量均假设为相互独立的随机变量，但在实际工程应用过程中，我们会遇到大量的具有相关性的随机变量共存，且具有相关性的多个随机变量共存的地下水随机模拟与管理模型的求解比较复杂，本书未作专门分析，读者在应用时应注意这一问题。