15问答网 > 设二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+2x2^2+3x3^2+2ax1x3(a>0)通过正交变换X=PY化为标准型2y1^2+y2^2+5y3^2。

设二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+2x2^2+3x3^2+2ax1x3(a>0)通过正交变换X=PY化为标准型2y1^2+y2^2+5y3^2。

2025-01-06 14:05:52

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回答1：

你给的题目好麻烦啊!

解: 二次型的矩阵 A=
3 0 a
0 2 0
a 0 3
由已知, A的特征值为2,1,5
所以 |A-E|=4-a^2=0
所以 a=±2.
a=2 时
A=
3 0 2
0 2 0
2 0 3
对应的特征向量为 (0,1,0)^T, (1,0,-1)^T, (1,0,1)^T
将其单位化即得所求正交矩阵P.
a=-2 时
A=
3 0 -2
0 2 0
-2 0 3
对应的特征向量为 (0,1,0)^T, (1,0,1)^T, (1,0,-1)^T
将其单位化即得所求正交矩阵P.