用数学归纳法证明 4^(2n-1)+3^(n+1)，(n∈N*)能被13整除

望采纳

证：
n=时，4+3²=13，能被13整除
假设当n=k(k∈N*)时，4²ᵏ⁻¹+3ᵏ⁺¹能被13整除，则当n=k+1时
4^[2(k+1)-1]+3^[(k+1)+1]
=4²ᵏ⁻¹⁺²+3¹⁺ᵏ⁺¹
=16·4²ᵏ⁻¹+3·ᵏ⁺¹
=3·4²ᵏ⁻¹+3·ᵏ⁺¹+13·4²ᵏ⁻¹
=3(4²ᵏ⁻¹+3ᵏ⁺¹)+13·4²ᵏ⁻¹
4²ᵏ⁻¹+3ᵏ⁺¹能被13整除，13·4²ᵏ⁻¹包含因子13，能被13整除
3(4²ᵏ⁻¹+3ᵏ⁺¹)+13·4²ᵏ⁻¹能被13整除
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，4²ⁿ⁻¹+3ⁿ⁺¹能被13整除。

当n=1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^3+3^3=91=7*13
能被13整除
设n=k时,也能被13整除
4^(2k+1)+3^(k+2)=13*m m属于整数
当n=k+1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=16*4^(2k+1)+3*3^(k+2)
=13*4^(2k+1)+3*4^(2k+1)+3*3^(k+2)
=13*4^(2k+1)+3*(4^(2k+1)+3^(k+2))=13*4^(2k+1)+3*13*m
成立
所以
4^2n+1+3^n+2能被13整出

供参考。