(1+1⼀n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围

不等式两侧同取对数，
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x，x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]²[1/(1+x)] +1/x²
＝{[ln(1+x)]²(1+x)-x²}/{[x²{[ln(1+x)]²(1+x)} （通分）

因为，x=1/n，n为正整数
所以，0ln(1+x)>0
分母>0，讨论分子
设，g(x)=[ln(1+x)]²(1+x)-x² （0g‘(x)=2ln(1+x)×1/(1+x)×(1+x)＋[ln(1+x)]² －2x
=2ln(1+x)+[ln(1+x)]² －2x
g''(x)＝2/(1+x)+2ln(1+x)×1/(1+x)－2
＝2/(1+x)×[1+ln(1+x)-(1+x)]
＝2/(1+x)×[ln(1+x)-x]
1+x>0，只讨中论括号里面的
设t(x)＝ln(1+x)－x
t’(x)＝1/(1+x) －1＝-x/(1+x)<0，0所以，t(x)所以，g''(x)<0
g'(x)所以，g(x)所以，f'(x)<0，
f(x)在0则，f(x)≥f(1)＝1/(ln2) －1
令x＝1/n，则 f(1/n)≥1/(ln2) －1
又，a≤f(1/n)恒成立
所以，
a的取值范围为，a≤1/(ln2) －1

a<=0,因为(1+1/n)的n次方的极限是e,而且(1+1/n)的n次方单调递增