如何求复合函数单调性

这个问题用同增异减来解释是高中老师比较普遍但很搞笑的做法。回归本质应当是对函数层层剥离。比如你的这个例题，首先要明确 log(t) 的定义域是要求t>0，而对于 t=x^2+1 的情况，在 x 属于 (-无穷, +无穷)时，t > 1 恒成立。所以 x 可以取任意实数。那么在 x 属于 (0，+无穷)的情况下， t = x^2+1 单调递增。注意这不是最终结果，而是根据x由小到大的取值判断出了 t的趋势，最终要判断的是 log(t)的趋势。log(t)在t大于0的情况下恒为单调递增函数，所以，只要t一直变大，log(t)就单调递增，而 t 变大（或者说单调递增）的区间在 x 属于(0, +无穷)里。按照上述逻辑，x属于(-无穷，0)时，log(t)就是单调递减的。结论就是：在x属于（-无穷，0）时，log(x^2+1)单调递减，在x属于（0，+无穷）时，log(x^2+1)单调递增。至于定义域，你应该想的是，拿到一个函数首先确定一个自变量的取值范围，使得函数能够成立，然后在这个自变量的取值范围上讨论整个函数的特性，包括单调性。而不是死抠在哪个函数的定义域上讨论。其实到以后学微分学了就知道，对一个函数求微分就可以判断其单调性，前提仍然是明确自变量的取值范围。希望你能学懂！

不知有无学过导数，学过的话直接复合函数求导数即可（有点类似于方程之于奥数）。
导函数值>0的区间为单调递增区间，导函数值<0的区间为单调递减区间。
f(x)=log(x^2+1)
f'(x)=[1/(x^2+1)·ln10]·(x^2+1)'
=2x/(x^2+1)·ln10
x>0 f'(x)>0 为单调递增区间
x<0 f'(x)<0 为单调递减区间

求定义域，然后求导，根据导函数来确定函数的走势，也就是单调性
还有，你的例子没有写明底数，如何求单调性？
函数的定义域只有一个，没有什么里函数，外函数的，能使f(x)有意义的自变量的所有的取值是所求的定义域。