因为f(x,y)在有界闭区域d上连续，所以f存在最小值m和最大值m；
则
m*∫∫（区域d）g（x，y）dδ=<∫∫（区域d）f（x，y）g（x，y）dδ<=m*∫∫（区域d）g（x，y）dδ;再由连续函数的介值定理，至少存在一点（a，b）属于d，使得∫∫（区域d）f（x，y）g（x，y）dδ=f（a，b）∫∫（区域d）g（x，y）dδ。
首先将矩形区域任意分成n个小区域，若每个小区域上任取一点的坐标x或y是有理数时，f(x,y)=1，因此积分和为整个矩形趋于的面积；若每个小区域上任取一点的坐标x或y是无理数时，f(x,y)=0，因此积分和为0；因此，积分和的极限，也就是二重积分不存在，原函数不可积。
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