设3n+1=m2，则3n=m2-1=（m+1）（m-1），故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，不妨设m-1=3a，则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）?3a，即n=a（3a+2），则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，当n=8时，3n+1=25满足题意，此时，n+1=9=32， ∴k的最小值是3．故答案为：3．
