试证明,每个大于6的自然数N都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和

以奇偶性来判断。

（1）若N为奇数，不妨设N=2n+1
因而N=（n）+（n+1）
注意到：n和n+1互质。
用辗转相除法验证：
(n+1)÷n=1……1
n÷1=n无余数
因而(n+1)与n的最大公因数为1，所以互质

（2）若N为奇数，不妨设N=2n
此处再细分为n为奇数和偶数

①若n为偶数，不妨设n=2m
因而N=（n-1）+（n+1）
注意到：n-1和n+1互质。
用辗转相除法验证：
(n+1)÷(n-1）=1……2
（n-1）÷2=(m-1)……1
2÷1=2无余数
因而(n+1)与(n+1)的最大公因数为1，所以互质

②若n为奇数，不妨设n=2m+1
因而N=2(2m+1)=4m+2
因而可加法分解N=（2m+3）+（2m-1）
注意到：2m+3和2m-1互质。
用辗转相除法和整除性质验证：
(2m+3)÷(2m-1）=1……4
（2m-1）是奇数，它与4互质
因而(2m+3)与(2m-1)互质

综上，
（i）对于形如4n+1和4n+3的整数（所有奇数），例如：31，那么31÷2=15.5，于是15+16即为一种表示（先取这个数一半再±0.5）；
（ii）对于形如4n的整数（4的倍数），例如：40，那么40÷2=20，于是19+21即为一种表示（先取这个数一半再±1）；
（iii）对于形如4n+2的整数（2的倍数却不是4的倍数），例如82，那么82÷2=41，那么39+43即为一种表示（先取这个数一半再±2）。

注意到，以上三种方式已经代表了所有大于6的自然数。当然，不同的数可能有多种表示，以上只是构造一种表示方法，并不一定唯一。