三棱锥的外接圆半径怎么求

2025-01-23 13:47:59

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回答1：

过顶点向底面作垂线，由勾股定理求高。
如果过顶点向底面作垂线，垂足不易确定时，就建立空间直角坐标系，用向量的方法求解。
有很多特殊方法，如等体积，补体等，对于一个一般的三棱锥，用不了特殊的方法时，就得先作出高。
你可以举一个具体的例子。
一般的三棱锥……如果只知道棱长和一些角，要想找高，我没思路。你拿出一道题来，我再想想看，空说没用。
你把所有棱长都给了，那么不管多么一般的三棱锥，都可以直接使用公式。
下面给出三棱锥的外接球半径公式和一种体积公式。
若四面体ABCD的体积为V，其三对对棱的长分别为a1，a；b1，b；c1，c，其外接球半径为R，则
R=Q/（6V），
Q为以三对对棱乘积为边的三角形面积，即
Q=[根号下（aa1+bb1+cc1）（bb1+cc1-aa1）（cc1+aa1-bb1）（aa1+bb1-cc1）]/4。
若记P1，P2，P3分别为四面体相对两棱（互为异面的两条棱）的积的平方，再乘以另外四条棱的平方和与这对棱的平方和的差所得的积；P为四面体每个面上三条棱的积的平方和。则四面体的体积V为
V=（根号下P1+P2+P3-P）/12。
根据V=Sh/3，可由体积和底面面积算出底面上的高。
正规考试有这么考的吗？你给出的这题有很多棱长都相等，我可以找出的，但如果给出更一般些的棱长，我就很可能找不出了。
现在你认真画出一个三棱锥。
取AB的中点E，连结EP，EC，则AB⊥EP，AB⊥EC（等腰三角形性质），则AB⊥面PEC。过P向EC作垂线，垂足为H，则PH⊥EC，因为AB⊥PH（线面垂直的性质），所以PH⊥底面ABC，高找到，勾股定理可求。
四面体的外接球球心即四面体的外心到各顶点的距离相等，是各棱中垂面的交点。显然，PEC是AB的中垂面，同理，取F为PC的中点，则ABF是PC的中垂面，故EF是它们的交线，外心就在交线EF上。EF上的点现已满足到P，C和A，B的距离分别相等，只要在其上找到一点O，使它到点B，C的距离相等即可。注意到三角形OBE和OCF都是直角三角形，且BE=AB/2=PC/2=CF，欲使OB=OC，必有OE=OF，即O为EF中点，外心找到。外接球半径即可由勾股定理求出。

回答2：

这需要知道三棱锥的特征，例如“三个侧棱两两垂直的三棱锥”，那么其外接球的直径的平方就是三个侧棱长的平方和。

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