对于(x的立方+y的立方等于z的立方)这个方程没有实数解

2025-01-19 22:19:53
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回答1:

用反证法.假设原方程有正整数解,那么在全体正整数解中,必有一组解x0,y0,z0使z0取最小值.
首先,x0,y0,z0两两互素(显然)
所以必为一奇一偶.设y0为偶数.
(z0^2-y0^2,z0^2+y0^2)=(2z0^2,2y0^2)=1(辗转相除法)
所以(z0^2-y0^2)(z0^2+y0^2)=x0^4
因为两两互素,所以可设z0^2-y0^2=u^4,z0^2+y0^2=v^4
其中u,v为互素的奇数.所以y0^2=0.5(v^2-u^2)(v^2+u^2)
而(v^2-u^2,(v^2+u^2)/2)=1(辗转相除法)
同理可得v^2-u^2=a^2,
(v^2+u^2)/2=b^2
其中a,b互素且a为偶数,b为奇数.
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回答2:

解:x+y+z=3
(1)
x^2+y^2+z^2=3
(2)
x^3+y^3+z^3=3
(3)
由方程(1)、(2),易得
x+y=3-z,xy=z^2-2z+3.
因x、y的方差是
s^2=1/2[(x^2+y^2)-1/2(x+y)^2]=1/2[1/2(x+y)^2-2xy]=-3/4(z-1)^2≥0,
则z=1.
从而有x+y=2,xy=1.
解得x=y=1.
将x=y=z=1代入(3)也满足。