一阶线性微分方程通解

形如 dy/dx+Py=Q.........①的方程谓之一阶线性微分方程，其中P，Q都是x的函数.
为解此类方程，可先求出齐次线性方程：dy/dx+Py=0........②的通解。
分离变量得：dy/y=-Pdx； 积分之得：lny=-∫Pdx+lnC₁或写成：y=C₁e^(-∫Pdx);
然后用积分常数变易法求出原方程的通解：将C₁换成x的函数u，即得：y=ue^(-∫Pdx)........③;
两边对x取导数得：dy/dx=(du/dx)e^(-∫Pdx)-Pue^(-∫Pdx)...........④;
将③，④代入原式①中以确定u：(du/dx)e^(-∫Pdx)-Pue^(-∫Pdx)+Pue^(-∫Pdx)=Q
化简即得：du/dx=Qe^(∫Pdx);
于是可得 u=∫Qe^(∫Pdx)dx+C;
再代入③即得原方程的通解：y=e^(-∫Pdx)[∫Qe^(∫Pdx)dx+C];
此式可做公式使用。
如果不喜欢用这种公式，你就从头到尾按上述步凑走一遍。

、对于一阶齐次线性微分方程：

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其通解形式为：

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其中C为常数，由bai函数的初始条件决定。
2、对于一阶非齐次线性微分方程：

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其对应齐次方程:

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解为：

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令C=u(x)，得:

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带入原方du程得：

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对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

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扩展资料

主要思想：
数学上，分离变量法是一种zhi解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以dao借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分版只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。
利用高数知识、级数权求解知识，以及其他巧妙的