很容易证明，这个方程的解=齐次方程[y''+y=0]的通解+非齐次方程[y''+y=e^x]特解+非齐次方程[y''+y=cosx]的特解。
下面求通解，就直接根据公式了，具体可以看课本。
齐次方程的特征方程是λ²+1=0求出两个特征值i和-i，于是通解就是C[1]cosx+C[2]sinx。
然后y''+y=e^x很好猜，一看就是1/2 e^x是特解。
y''+y=cosx就麻烦了。有没有发现cosx里面x前面系数是1，恰好和一对共轭特征值±i碰一起了（也就是说通解里面也正好有cosx项）。对于这种情况，惯用方法是设特解为x(Acosx+Bsinx)（前面多乘一个x，如果和特征值“撞车”的时候特征值重数不止一重，而是n重，还要乘x^n）。然后带进方程[y''+y=cosx]，计算吧，计算量也不大但是容易出错，细心点就能算出，结果是A=0，B=1/2
于是最终的通解y=C[1]cosx+C[2]sinx+1/2 e^x+1/2 xsinx（C[1]、C[2]为两个任意常数）
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024