求微分方程y‘’-2y✀+y=sinx+x(e^x)的通解

解：∵y''-2y'+y=0的特征方程是r²-2r+1=0，则r=1
∴y''-2y'+y=0的通解是 y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
∵设y''-2y'+y=sinx+xe^x的特解是 y=Acosx+Bsinx+Cx³e^x
y'=-Asinx+Bcosx+3Cx²e^x+Cx³e^x
y''=-Acosx-Bsinx+6Cxe^x+6Cx²e^x+Cx³e^x
代入原方程整理 2Asinx-2Bcosx+6Cxe^x=sinx+xe^x
==> A=1/2，B=0，C=1/6
∴y''-2y'+y=sinx+xe^x的特解是 y=(1/2)cosx+(1/6)x³e^x
故y''-2y'+y=sinx+xe^x的通解是 y=(C1x+C2)e^x+(1/2)cosx+(1/6)x³e^x (C1,C2是积分常数)。

其实只要代入那个一阶线性非齐次微分方程上面的通解就行，也不好去写。注意的是求积分的时候注意点就行。那个通解公式，课本上有。

-2y'+y=sinx+x(e^x)