全国第三届思维训练杯数学竞赛试题答案

所有题目的答案！很急！！！

2025-02-07 10:11:47

推荐回答（2个）

回答1：

一、选择题（每题5分，共60分）
1. 所有各个面都是三角形的正多面体有（）种.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知三棱锥P－ABC中，各侧面与底面所成的二面角都是60°，且三角形ABC的三条边长分别为7、8、9，则此三棱锥的侧面积的大小为（）.

3. 空间五个点，其中任意两点的连线都与其他三点确定的平面垂直，则这五个点：
①存在，且其中任意四个点不共面；
②存在，其中可能有四个点共面；
③不存在，但在任意两个点确定的10条直线中可以有8条分别与另外三个点确定的平面垂直；
④不存在，且在任意两个点确定的10条直线中至多有7条分别与另外三个点确定的平面垂直.
其中错误命题的序号是（）.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
4. 条件“AB≠0或C=0”是直线Ax+By+C=0与两坐标轴都有交点的（）.
A. 充分条件，但不是必要条件
B. 必要条件，但不是充分条件
C. 充要条件
D. 不充分且不必要的条件
5. 直线l1过点A（3，0），直线l2过点B（0，4），l1‖l2，用d表示l1和l2的距离，则（）.
A. d≥5 B. 3≤d≤5
C. 0≤d≤5 D. 0 6. 已知直线ax+y+1=0与直线（a+1）x+by+2=0平行，且原点到它们的距离相等，则a+b的值等于（）

7. 已知三点A（1，2），B（3，1），C（2，3）和直线l：y=kx，当A、B、C三点到直线的距离的平方和最小时，k值为（）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
8. 5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的五条边所在的直线中，互相垂直的直线至多有（）.
A. 5对
B. 6对
C. 7对
D. 8对

9. 当曲线y=1+与直线y=k（x-2）+4有两个相异的交点时，则实数k的取值范围是（）.

10. 若圆（x－a）2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是（）.
A. a2－2a－2b－3＝0 B. a2＋2a＋2b＋5＝0
C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
11. 在坐标平面yoz上，与两点A（－2，2，0）与B（1，2，3）距离相等的点的个数是（）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
12. 以动点P（a，2）向圆（x＋3）2＋（y＋3）2＝1作切线，则切线长的最小值为（）.
A. 4 B. 5 C.
二、填空题（每题4分，共16分）
13. 已知直线l垂直于平面α，直线m在平面β内，那么，下面四个命题：

其中正确命题的序号是__________.
14. 设a，b是异面直线，P是a，b外一点，有以下四个命题：
① 过P点可作直线与a，b都相交；
② 过P点可作平面与a，b都平行；
③ 过P点可作直线与a，b都垂直；
④ 过P点可作直线与a，b所成角都等于50°.
这四个命题中正确命题的序号是 .
15. 已知x2＋y2＝4x，则（y－x）max＋（y－x）min＝________.
16. 已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－16y＋60＝0，又直线y＝x＋b在两圆之间通过且与两圆均无公共点，则b的范围是__________.
三、解答题（17～21每题12分，22题14分，共74分）
17. 正三棱锥P－ABC底面边长及锥高都等于4，过AB的截面将棱锥体积二等分，求锥顶P到该截面的距离.

18. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是面BB1C1C上对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD上一动点，试求D1P+PQ的最小值.

19. 在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱B1C1、C1D1、D1D的中点，求过M、N、P的平面截正方体所得截面的面积.
20. 设动点P、P′的坐标分别为P（x，y）、P′（x′，y′），它满足问点P、P′能否在同一直线上运动？如果能，求出直线方程.
21. 已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1-4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的图形是圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围.
22. 已知圆C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点.
（1）求的最大值与最小值；
（2）求x-2y的最大值与最小值.

答案
1. B 2. A 3. D 4. C 5. D
6. A 7. B 8. C 9. C 10. B
11.D 12. C.
13.（1）（3）； 14. ③④；
15. -4； 16. （3，5）.
17. 解：设截面AEB是满足题意的截面，即P、C到它的距离相等，设为h，则有VP－ABC=VP－ABE+VC-ABE， ……3分

18. 解：由题设，知D1P+PQ最小时，点Q必定是点P在底面上的射影. ……3分
D1P与PQ在不同两个平面内，为此将△BC1C绕BC1旋转90°，使△BC1C与对角面ABC1D1在同一平面内. ……6分
如图：

由PQ⊥BC知，当D1，P，Q共线且与BC垂直时，D1P+PQ最小为D1Q1，可求得D1Q1=D1P1+P1Q1 =
……10分
故所求最小值为1+. ……12分
19. 如图所示：

截面MNP与上底面交于MN，与右侧面CD1交于NP.在右侧面CD1上延长PN交CC1的延长线于E，则E为截面与面BC1的一个公共点，所以EM为截面与平面BC1的交线.
因为N是C1D1的中点，所以C1E＝D1P＝DD1＝. ……3分
延长EM交BB1于L，交CB的延长线于G；延长EP交CD于F.连接FG，分别交AD、AB与Q、K.因为∠B1ML=∠C1ME=45°，所以△B1ML为等腰直角三角形，于是B1L=B1M=，即L为B1B的中点.易知K为AB的中点，Q为AD的中点.故截面为六边形MNPQKL.
易得六边形MNPQKL的六边的长均相等，为.在等腰△EC1N中，EN=
同理EM=，所以△EMN为正三角形. ……6分
于是∠EMN=60°，∠NML=180°-∠EMN=120°.
同理可求得六边形其余的内角均为120°. ……9分
故为正六边形，从而截面面积为. ……12分
20. 解：设动点P和P′都能在直线ax+by+c=0上运动，则P、P′的坐标均适合方程.……2分
将x′=3x+2y+1，y′=x+4y-3代入ax′+by′+c=0，并整理得：（3a+b）x+（2a+4b）y+（a-3b+c）=0，此方程与ax+by+c=0是同一方程. ……4分
故有，解得b=2a，c=-a或b=-a，c=4a. ……8分
对应的直线方程为x-y+4=0或4x+8y-5=0. ……10分
故P和P′可以在同一直线上运动，且这样的直线有两条. ……12分
21. 解：（1）由已知得r2＝（t+3）2+（1-4t2）2-（16t4+9），
其中r为圆的半径. ……2分
又r>0，即r2>0，所以（t+3）2+（1-4t2）2-（16t4+9）>0，解得t∈（－，1）. ……4分
（2） r2＝（t+3）2+（1-4t2）2-（16t4+9）＝－7t2＋6t＋1＝－7（t－）2＋，所以当t＝时，r取得最大值. ……6分
所以圆的方程为（x－）2＋（y＋）2＝. ……8分
（3）圆心的坐标为（t＋3，4t2－1）.
因为点P恒在所给圆内，所以（t＋3－3）2＋（4t2－1－4t2）2<-7t2+6t+1. ……10分
即4t2－3t<0，解得0 22. 解：（1）显然可以看作是点P（x，y）与点Q（1，2）连线的斜率.
令=k，则其最大、最小值分别是过点Q（1，2）与圆C的两条切线的斜率. ……4分

对上式整理得 kx-y-k+2=0.
∴ d==1，

（2）令u=x-2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
……12分
故x-2y的最大值是-2+最小.

回答2：

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