x→0时，arctanx－x等价于什么？分析一下

x→0时，arctanx－x等价于-1/3x^3。

由泰勒公式可得

arctanx=x-1/3x^3

因此x→0时，arctanx－x等价于-1/3x^3。

扩展资料

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

当x趋近于0时，可以使用泰勒级数展开来分析arctanx和x的等价性。

首先，我们知道arctanx的泰勒级数展开为：

arctanx = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ...

而x的泰勒级数展开为：

x = x

当x趋近于0时，高次幂的项会趋近于0，因此我们可以忽略掉它们。所以，当x趋近于0时，arctanx和x的等价性可以近似表示为：

arctanx - x ≈ 0

也就是说，当x趋近于0时，arctanx和x是等价的。

这个结论可以通过数值计算验证，当x取非常接近于0的数值时，我们可以发现arctanx - x的值非常接近于0。

当$x \rightarrow 0$时，我们可以使用泰勒级数展开来分析$ \arctan x - x$ 的等价性。

首先，使用泰勒级数展开将$\arctan x$展开成无穷级数：

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots$

然后，我们可以将$x$替换为$0$，得到：

$\arctan 0 = 0 - \frac{0^3}{3} + \frac{0^5}{5} - \frac{0^7}{7} + \ldots = 0$

因此，原表达式可以化简为：

$\arctan x - x = (x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots) - x = - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots$

当$x \rightarrow 0$时，我们可以忽略高阶项，因为它们的幂次更高，所以我们可以得到等价形式：

$\arctan x - x \approx - \frac{x^3}{3}$

因此，当$x \rightarrow 0$时，$ \arctan x - x$ 的等价形式是$- \frac{x^3}{3}$。

当 x 趋近于 0 时，arctanx 和 x 的值趋近于同一个数，这个数就是 arctanx 和 x 在 x 趋近于 0 时的极限。我们可以使用 L'Hôpital's rule 来求解这个问题。对于 arctanx 和 x，我们分别求导得：d(arctanx)/dx = 1/1*(x^2+1)/(x^2+1)^(3/2)d(x)/dx = 1因此，arctanx 和 x 在 x 趋近于 0 时的极限都为 1。所以，在 x 趋近于 0 时，arctanx－x 的值等于 arctanx 和 x 的值的差，即 1。