怎样用定积分推导圆锥的体积公式？求具体过程。

2025-01-21 20:12:20

推荐回答（3个）

回答1：

连接圆锥顶点A向地面圆心O，在AO伤取点p,有点P向侧面作垂线交侧面与Q。再设AP为x,再过O做底面半径r，高为h 。则旋转PQ所得的面积为π(rx/h)²。因为所求圆锥的x范围是0到h，设上述面积为S（x）。可用定积分来做。∫h-o=∫h-o πr²/h²*x²=πr²/h²*1/3h³=1/3πr²h
圆锥，数学领域术语，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；[1]
圆锥的母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形侧面展开图是扇形。
圆锥侧面展开是一个扇形，已知扇形面积为二分之一rl。所以圆锥侧面积为二分之一母线长×弧长（即底面周长）。另外，母线长等于底面圆直径的圆锥，展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的扇形角度等于（底面直径÷母线）×180度。
2体积

提示：（“/” 为“÷”）
（以下“×”改为“ * ”）
（“x”为…的…次方）
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh/3（V=πr2*h），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh[2]
S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：
把圆锥沿高分成k分每份高 h/k,
第 n份半径：n×r÷k
第 n份底面积：pi×nx2×rx2÷kx2
第 n份体积：pi×h×nx2×rx2÷kx3

圆锥
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3
∵
1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

圆锥(4张)
∴
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3
=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3
=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
∵ 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

圆锥
∵ V圆柱=pi*h*rx2
∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3
3绘制方法

圆锥体展开图的绘制十分简单。通过绘制展开图可以精确求出圆锥体的侧面积。
体展开图

圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。(如右图）

在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）
∵弧AB=⊙O的周长
∴弧AB=πd
∵弧AB=2πa(∠1/360°)
∴2πa(∠1/360°)=πd
∴2a(∠1/360°)=d
将a,d带入2a(∠1/360°)=d得到∠1的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。
表面积

圆锥展开图
一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积．
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。
S=πRx2(n/360)+πrx2或(1/2)αRx2+πrx2(此n为角度制,α为弧度制,α=π(n/180)
4面积公式

　　

圆锥侧面展开图
S侧=πrl=（nπl^2）/360（r：底面半径，l：母线长，n：圆心角度数）
底面周长（C）=2πr=（nπl）/180（r：底面半径，n：圆心角度数，l：母线长）
h=根号（l^2-r^2）（l：母线长，r：底面半径）
全面积（S）=S侧+S底
V=1/3Sh=1/3πr·2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
V（圆锥）=1/3·V（圆柱）=1/3·Sh =1/3·πr2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
5三视图

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。
其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。

6圆锥

生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头等。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
谢谢。。。。。。。。。。。。

回答2：

这是幂函数的积分规律:
1、被积函数的幂加1：
2、然后将加了1之后的幂做分母；
3、代入上限的值减去代入下限的值就是答案。

这些在所有的微积分书上都有证明，在这里是讲不清的，需要讲很长时间，有问题，可以Hi我。

这种积分的例子，举例如下：

∫xdx (从1积到2)= ½x²(从1积到2)=½(4-1)=3/2
∫x²dx (从1积到2)= ⅓x³(从1积到2)=⅓(8-1)=7/3
∫x³dx (从1积到2)= ¼x⁴(从1积到2)=¼(16-1)=15/4

帮到你就给个好评吧

回答3：

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