求lim(x→0)[√(1+tanx)+√(1+sinx)]⼀[x*ln(1+x)-x^2]

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2]

洛必达法则

=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=-1/2

扩展资料：

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，或Xn→a（n→∞）。

读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”。

若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。

该定义常称为数列极限的 ε—N定义。

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

参考资料来源：百度百科-lim

结果为：-1/2

解题过程：

解：原式=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2]

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]

=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)

=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)

=-1/2

扩展资料

性质：

分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)。分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2]

洛必达法则

=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

洛必达法则

=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2]

=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]

=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)

=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)

=-1/2

扩展资料：

求函数极限的方法：

利用函数的连续性，将趋势值直接带入函数自变量中，此时，分母不能为0。

当分母等于零时，趋势值不能直接代入分母，因式分解可以通过减少分母使分母不为零，如果根出现在分母中，可以添加一个因子来移除根。

如果它趋向于无穷大，分子和分母可以同时除以自变量的最大幂。（这个定理通常被使用：无穷大的倒数是无穷小）

当分式为0/0或∞/∞时，可利用lobida定律求出极限，其他形式也可以转换为此形式，符合形式的分数极限等于分数和导数的分子分母。

参考资料来源：

百度百科-洛必达法则

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)]

=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2]

运用洛必达法则得

=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]

=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2]

=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]

=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)

=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)

=-1/2

扩展资料：

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

1、 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止 。

2、 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

参考资料来源：百度百科—洛必达法则

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2] 

=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)] 

=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2] 

洛必达法则

=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

洛必达法则

=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2] 

=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]

=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)

=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)

=-1/2

扩展资料

性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列

收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。