求图片中的三重积分要大致过程谢谢

非常感谢！

2025-01-23 08:12:26

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回答1：

积分区域是半球形，积分函数也是球形，一般的思路就是积分函数换元，用球面坐标系去做。（重积分无外乎就那几种方法，1常见的重积分化成累次积分，直接求解；2柱面坐标求解，3球面坐标求解，4根据重积分的物理意义，用物理的视角来化简和求解）。这道题建议你用重积分的物理含义来做。如果从物理角度来看的话，容易知道这个三重积分表示的就是半径为6的半球体的质量（刚才没注意积分函数最后一个区域是0---6，因为如果是0-6，这就是一个半球体，如果是-6 ----+6，这就是一个完整球体）。也就是说，我们怎样去求解一个球体的质量？而密度函数就是被积函数，很显然，当质点处在一个球面上时，密度是相同的，也就是说，如果我们用球壳去分割球体，球壳的厚度为dr，dr---0，这样就可以用微元法来求解了。
球体分割成无数个球壳，对球壳的质量进行一元积分，就得到球体的质量，也就是待求的三重积分的值。
球壳的质量dm=4πr*r/r *dr/2=2πrdr
然后对dm进行积分，积分区间就是r的变化范围【0,6】。所以答案就是πr*r|（0,6）=36π

至于用球面坐标，其实就是换元法，如楼下朋友所示，x，y，z分别用r，a，b来进行替代（a，b表示的是r同z轴以及r在xoy平面的投影r'与x轴的夹角），同时表达出体积元dv就可以了。楼下朋友之所以做错了，就在于dxdydz这一体积元在进行代换后，不等价于drdadb，而应该等价于r*rsinadrdadb，之后再化简成三次积分才行。并且，如果按照标准理解，这个是处于x正半轴的半球体，所以图片中的积分上下限也不对，如果要这样书写，必须要先说明一下，然后等价转换之后才可以。因为他图片中的半球是z轴正半轴的那个半球体，所以必须要说明两者是一致的，然后才能如此积分。

最后，用球面坐标的时候还得注意，由于是半球体，比如说就是z轴正半轴的那部分，那么a（r和z轴的那个夹角），是关于z轴对称的，所以他的积分区间是两个【0，π/2】，而不能简单地认为是【0，π】，也正因为如此，那么b（投影同x轴的夹角）也不能简单地认为还是【0,2π】了，而变成了【0，π】或【-π，0】，两者二选一，因为半球又被分割成了两部分
所以这些都要注意，为了避免这些变换，你可以用对称的思想，直接把半球体分割成相等的四部分，每部分的积分值都一样。这样我们在书写积分区域的时候就少了很多麻烦

回答2：

解：积分域是x²+y²+z²=36的上半个球，用球坐标：
原式=【0，6】∫rdr【0，2π】∫dθ【0，π/2】∫sinφdφ=(6²/2)×2π×(-cosφ)【0，π/2】
=18×2π×1=36π

回答3：

^O^11111################

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