无穷级数∝∑n=1 cosn∏⼀√（n∧2+n）为何是条件收敛

2025-01-20 04:49:18

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回答1：

无穷级数
∑(n≥1)[cosnπ/√(n²+n)]
的条件收敛如下判别：
　　1）用
Dirihlet
判别法判别该级数是收敛的；
　　2）由于
　　　|cosnπ/√(n²+n)|
≥cos²nπ/√(n²+n)
　　=
(1/2)[(1+cos2nπ)/√(n²+n)]
　　=
(1/2)[1/√(n²+n)]
+[cos2nπ/√(n²+n)]，
而
Σ[1/√(n²+n)]
发散，Σ[cos2nπ/√(n²+n)]
收敛，因而
Σ[cos²nπ/√(n²+n)]
发散，据比较判别法，……。

回答2：

|cosn/n^2|≤1/n^2
级数cosn/n^2收敛
对于n!/n^n，后项比前项的绝对值=1/(1+1/n)^n趋于1/e所以：级数∑(n!/n^n+cosn/n^2)收敛

回答3：

简单分析一下，答案如图所示