15问答网 > 请问如何用数学归纳法证明 n！< n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)？多谢！

请问如何用数学归纳法证明 n！< n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)？多谢！

2024-12-10 17:44:28

推荐回答（2个）

回答1：

(1)当n=2时，2！=2×1=2 、2²=4 、原式成立。
(2)设n=k时，k！根据⑴⑵可得原式成立

回答2：

n！< n^ n，( n ≥2 )
证明，令S=n! - n^n ( n ≥2 )
数学归纳法
1，当n=2时，S=2!-2^2=2-4=-2<0
2，设n=m时，S=m!-m^m< 0成立
3，当n=m+1时，
S=(m+1)!-(m+1)^(m+1)
=m!*(m+1)-(m+1)*(m+1)^m
=(m+1)[m!*-(m+1)^m]
因为，m≥2（已知）
所以：
(m+1)^m＞m^m，m!*-(m+1)^m＜m!*-m^m< 0……a
m+1＞0……b
由a，b知：S< 0
综合1,2,3得：S=n! - n^n < 0，
即：n！< n^ n，( n ≥2 )

请问如何用数学归纳法证明 n！< n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)？ 多谢！

请问如何用数学归纳法证明 n！< n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)？多谢！