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求函数f(x)=∫[0,x^2](2-t)*e^(-t)dt的极值和最值，x∈（－∞，＋∞）

2025-01-22 07:56:21

推荐回答（4个）

回答1：

f(x)=(x^2-1)e^(-x^2)，这是个偶函数，当x->无穷时趋于零。

f'(x)=2xe^(-x^2)(2-x^2)=0, 解为x=0，-√2或√2。

在x轴的右半部分，x在[0，√2]f'(x)>=0所以f(x)在这个区间单调增，在[√2，正无穷]f'(x)<=0，所以f(x)单调减，考虑到f(x)是偶函数， f(0)=-1是极小值，也是最小值。f(-√2)=f(√2)=e^(-2)是极大值，也是最大值。

简介

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的值大于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极大值”。如果函数在某点的值小于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极小值”。

回答2：

f(x)=(x^2-1)e^(-x^2)，这是个偶函数，当x->无穷时趋于零。
f'(x)=2xe^(-x^2)(2-x^2)=0, 解为x=0，-√2或√2
在x轴的右半部分，x在[0，√2]f'(x)>=0所以f(x)在这个区间单调增，在[√2，正无穷]f'(x)<=0，所以f(x)单调减，考虑到f(x)是偶函数， f(0)=-1是极小值，也是最小值。f(-√2)=f(√2)=e^(-2)是极大值，也是最大值

回答3：

ƒ(x) = ∫[0→x²] (2 - t)e^(- t) dt
ƒ'(x) = 2x(2 - x²)e^(- x²)
令ƒ'(x) = 0
x = 0、x = √2、x = - √2
ƒ''(x) = 2(2x⁴ - 7x² + 2)e^(- x²)
ƒ''(0) = 4 > 0、取得极小值
ƒ''(√2) = - 8/e² < 0、取得极大值
ƒ''(- √2) = - 8/e² < 0、取得极大值
极小值是ƒ(0) = 0
极大值是ƒ(± √2) = ∫[0→√2] (2 - t)e^(- t) dt = 1 + (√2 - 1)e^(- √2) ≈ 1.1007
由于没有给定ƒ(x)的范围，所以：
最小值 = 极小值
最大值 = 极大值

回答4：

好哪啊

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