怎样学习二次函数

1。要理解函数的意义 2。要记住函数的几个表达形式，注意区分 3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。 4。二次函数解析式的若干思路 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。 解：设此二次函数的解析式为 ，由题意得： 解之得 ∴所求的二次函数的解析式为 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。 解：设抛物线 ，由题意得： ∵抛物线过点（1，10） 即解析式为 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用 的形式，其中 、 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 例3、已知二次函数的图象与 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。 解：设所求解析式为 ∵图象经过（3，－4） ∴ ∴ 即： 则所求解析式为 。 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用 的形式来求，其中 为两交点之间的距离， 为其中一个与 轴相交的交点的横坐标。 例4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 解：设二次函数解析式为 由已知 ∴ 又由已知得： 解之得： 或 ∴所求二次函数解析式为： 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成 的形式，若图象向左（右）移动 个单位，括号里 的值就加（减） 个单位；若图象向上（下）平移 个单位， 的值就加（减） 个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。 例5、把二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，求所得二次函数的解析式。 解： 向右平移2个单位得： 即： 再向上平移3个单位得： 即： ∴所求二次函数解析式为 。 思路6、已知一个二次函数 ，要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成 的形式。 （1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即 互为相反数。 （2）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的形状大小不变，即 相同。 （3）关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即 互为相反数。 例6；已知二次函数 ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于 轴对称；（2）图象关于 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称。 解： 可转化为 ，据对称式可知①图象关于 轴对称的图象的解析式为 ，即： 。 ②图象关于 轴对称的图象的解析式为： ，即： ； ③图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的图象的解析式为 ，即 。 思路7、数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题来解决，只要充分运用有关几何知识即可达目的。 例7、设二次函数 图象与 轴交于两点 、 ，与 轴交于点 ，若 ，求此二次函数的解析式。 解：在 中， ∵ ∴ 又∵ ∴RtΔOBC∽RtΔABC，RtΔOAC∽RtΔABC， RtΔOAC∽RtΔOBC ∴ ∴ 设所求的抛物线解析式为 ，即 即 ，得： 所以所求抛物线为： 思路8、对于综合式的二次函数解析式的求法，以二次函数为背景来设计的综合题大多作为中考的压轴题，是用来拉开分数档次的试题，它一般以二次函数为中心，与代数、几何、三角等知识进行有机地融合。此种题型集初中代数、几何、三角等知识于一身，沟通了许多知识点之间的纵横联系，解题时，要根据几何图形的有关性质，建立等量关系，求出函数关系式或由函数图象中的几何图象，运用数形综合方法解决有关函数几何问题。只要将各知识点的问题予以解决即可求解。 例8、如图，EB是半圆O的直径，EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB，A是EP上一个动点（A点与E点不重合），过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB，垂足为F，过B作AD的垂线BH交AD的延长线于点H，连结ED和FH，设 ,求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。 解：连结BD ∵EB是半圆O的直径 ∴∠EDB=90° ∴ ∵BH⊥DA ∴∠BHD=90° ∵AH为⊙O的切线 ∴∠BDH=∠DEB ∴RtΔBDH∽RtΔBED ∴ ∴ ∴ 由条件 ，与A与P重合时，有 ∴ 又∵ΔPDE∽ΔPBD ∴ ∴ 则自变量 的取值范围为 。