首都师范大学数学分析和高等代数的考研具体大纲有吗？怎么找不到

2025-01-23 01:02:05

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回答1：

　
以下大纲供参考：　第一章、实数集和函数
　　实数概念、绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等），函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。
　　重点：实数集、函数、确界的概念及有关性质。
　　难点：确界概念与确界原理及应用。
　　第二章、数列极限
　　数列、数列极限的定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限
　　重点：数列极限的定义的概念，。
　　难点：数列极限的定义及应用,极限存在性判别。
　　第三章、函数极限
　　函数极限。定义，定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算、归结原则（Heine 定理）。函数极限的柯西准则。重要极限无穷小量及其阶的比较，记号 o，O，～，非正常极限，无穷大量及其阶的比较，渐近线。
　　重点：函数极限的概念、性质及计算。
　　难点：Cauchy收敛准则、 Heine定理的应用。
　　第四章、函数的连续性
　　函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。
　　重点：函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
　　难点：一致连续性的概念。
　　第五章、导数和微分
　　引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马(Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的应用，高阶微分。
　　重点：导数、微分的定义及计算。
　　难点：复合函数导数的计算。
　　第六章、微分中值定理及其应用
　　柯西（Cauchy）中值定理，不定式极限，洛比达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项）。近似计算，极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。方程近似解*。
　　重点：中值定理、Taylor公式，利用导数研究函数的性态
　　难点：构造辅助函数解决问题的方法，函数的凸凹性。
　　第七章、实数的完备性
　　区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理，闭区间上连续函数性质的证明。实数完备性基本定理的等价性，上极限和下极限。
　　重点：实数完备性基本定理的等价性的证明及应用。
　　难点：实数完备性基本定理的等价性的证明及应用。
　　第八章、不定积分
　　原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分
　　重点：不定积分概念和计算
　　难点：第二换元积分法
　　第九章、定积分
　　引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法，泰勒公式的积分型余项。上和与下和的性质。
　　重点：定积分定义，性质，微积分学基本定理。
　　难点：函数可积的条件。
　　第十章、定积分的应用
　　简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分、曲率*。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）。定积分近似计算*。
　　重点：面积、弧长与微元法。
　　难点：微元法及其应用。
　　第十一章、反常积
　　无穷限反常积分概念、柯西准则，线性运算法则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。
　　重点：反常积分概念、反常积分收敛性判别。
　　难点：反常积分收敛性判别
　　第十二章、数项级数
　　级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝（Raabe）判别法*。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。
　　重点：级数收敛与和的定义。
　　难点：正项级数收敛性判别。
　　第十三章、函数列与函数项级数
　　函数列的一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。
　　重点：函数列的一致收敛概念、性质。
　　难点：函数列的一致收敛的概念、判别及应用。
　　第十四章、幂级数
　　幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。
　　泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开、近似计算、复变量指数函数与欧拉（Euler）公式*。
　　重点：幂级数的收敛半径与收敛区间、初等函数的泰勒展开。
　　难点：幂级数的收敛区间端点处敛散性判别。
　　第十五章、傅里叶（Fourier）级数
　　三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格定理，按段光滑且以为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数，收敛定理的证明。
　　重点：把一个函数展开为傅里叶级数。
　　难点：傅里叶级数的收敛性判别。
　　第十六章、多元函数的极限和连续
　　平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。
　　二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。
　　重点：平面点集有关概念、二元函数的连续。
　　难点：二元函数极限的讨论。
　　第十七章、多元函数的微分学　　偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。
　　重点：全微分概念，偏导数的计算及应用。
　　难点：复合函数的偏导数、二元函数的泰勒定理。
　　第十八章、隐函数定理及其应用　　隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。
　　隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。
　　几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。
　　重点：隐函数定理。
　　难点：隐函数定理的证明。
　　第十九章、含参量积分　　含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。
　　含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换*，T函数与B函数。
　　重点：含参量反常积分的性质与一致收敛的判定。
　　难点：含参量反常积分一致收敛的判定。
　　第二十章、曲线积分　　第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系。
　　重点：第一型和第二型曲线积分概念与计算。
　　难点：第二型曲线积分。
　　第二十一章、重积分　　平面图形的面积。二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。
　　三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。
　　重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。n重积分*。
　　无界区域上的收敛性概念*。无界函数反常二重积分*。
　　在一般条件下重积分变量变换公式的证明*。
　　重点：重积分计算、格林（Green）公式及应用。
　　难点：化重积分为累次积分。
　　第二十二章、曲面积分　　曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式。斯托克斯公式。
　　场论初步*（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。
　　重点：第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式,斯托克斯公式。
　　难点：第二型曲面积分.
　　第二十三章、流形上微分学初阶　　维欧氏空间，向量函数，向量函数的极限与连续，向量函数可微性，可微函数的性质，海塞尔矩阵与极值。
　　反函数定理，隐函数定理，拉格朗日乘数法。
　　向量组的外积及其与相应行列式的关系，外积与微分形式。微分形式的外微分，外积与多重积分的变量变换公式，一般斯托克斯公式简述。

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