法律上没有强制责任方垫付费用的规定，只能通过双方协商。按照你的描述此案件为纯车损案件，没有人员伤亡，此种情况下，交警队并不会接受你方的要求一直扣车，到了事故处理流程完毕就会放车。除非你方已经在当地法院起诉并申请保全对方车辆。
如果双方无法协商达成一致，而你方又担心事故处理后难以找到对方索赔，最保险的办法就是直接起诉。另外停车费和拖车费属于间接损失部分，依法未必能够得到全额索赔。
停车及相关费用，你垫付之后可以要求他赔偿。如果就赔偿事宜不能达成一致意见，你可以想人民法院提起诉讼，并向人民法院申请财产保全，查封对方的车辆。
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