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使得 p(p+1)+2 2 是完全平方数的所有质数p为______

使得 p(p+1)+2 2 是完全平方数的所有质数p为______．

2025-01-19 14:09:58

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回答1：

设

p(p+1)+2

=a² ，
所以p（p+1）=2a² -2=2（a+1）（a-1），
因为p为质数，所以①p=a-1或者②p=a+1或者③p=2，
①当p=a-1时，设a-1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp+1，
所以p（p+1）=2kp（kp+2），
所以p+1=2k（kp+2），
所以（2k² -1）p=1-4k，
因为（2k² -1）＞0，所以（2k² -1）p，
又因为1-4k＜0，
所以（2k² -1）p=1-4k不可能成立．
②当p=a+1时，设a+1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp-1．
所以p（p+1）=2kp（kp-2），
所以p+1=2k（kp-2），
所以（2k² -1）p=1+4k，
所以2k² -1＜1+4k．
因为当k≥3时，2k² -1≥6k-1=4k+1+2（k-1）＞1+4k
所以k=1或者2，
当k=1时，（2k² -1）p=1+4k≥p=5，
当k=2时，（2k² -1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在质数p．
③当p=2时，因为p是质数．
所以p=2，
综上所述，p=2或者p=5，
验算：
当p=2时，

p(p+1)+2

=4=2²
当p=5时，

p(p+1)+2

=16=4² ．
故答案为2或5．