x^(1⼀x) x趋于正无穷大时的极限

这个没法用夹逼定理。只能用洛比达法则：
设 y＝x^(1/x) ，两边取对数，有 lny＝(1/x)·lnx＝ (lnx) / x
先求 lny 的极限，当x→＋∞时， (lnx) / x 是 ∞ / ∞ 型，满足洛比达法则的要求，
因此用洛比达法则，分子分母分别求导，lim lny＝(1/x) /1 ＝1/x ＝0
那么原极限＝exp(lny)＝exp(0)＝1 （其中 exp(x)的含义是e的x次方）

最简单的想法是用罗比达法则：
方法是y=x^(1/x)的两边取自然对数函数ln得：
lny=lnx/x
用罗比达法则：
lim(x->∞)lnx/x=lim(x->∞)1/x=0
所以lny->0,所以y->1
也就是所求函数极限是1

夹逼定理也可以做，n^(1/(n+1))<=x^(1/x)<=(n+1)^(1/n)，其中n=[x]
分别证左右两边的极限都是1.以右边为例，思路是：
设y(n)=(n+1)^(1/n)-1
(1+y(n))^n=n+1
左边用二项式展开，适当放缩证明{y(n)}是个无穷小量就可以了，
注意这里定义的y(n)>=0对任意n成立，否则不能证明结论成立
这个方法需要一定的技巧，特别是展开后的如何放缩，有点麻烦

解：原式=lim(x->+∞)[e^(lnx/x)]
=e^[lim(x->+∞)(lnx/x)]
=e^[lim(x->+∞)(1/x)] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=e^(0)
=1

lim(x→1）（8+cosπx)。 [(x-6）^5] （这是0。0型，运用洛必达法则） =lim(x→5）（-πsinπx)。 [1(x-5）] =lim(x→7）-πsin(π-πx)。 [4(x-2）] =lim(x→6）-πsinπ(7-x)。 [3(x-2）] (t=x-6) =lim(t→0)πsinπt。(8t) =lim(t→0)π^3t。(1t) =π^0。1 lim(x→∞）[e^(6。x)-3]*x =lim(x→∞）[e^(6。x)-4]。(4。x)(t=3。x) =lim(t→0）[e^(1t)-2]。t =lim(t→0）4t。t =1 2011-10-28 18:22:35