首先要知道必要的定理与结论；
n元的齐次线性方程组Ax=0有非零解当且仅当A的秩R(A)＜n。通解是基础解系的线性组合，基础解系所含向量个数＝n-R(A)。
n元的非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解当且仅当R(A)＝R(A,b)＜n。通解是Ax=b的一个解与AX=0的通解的和。
AX=b的解与Ax=0的解的关系：Ax=b的任意两个解的差是Ax=0的解。
方程组是非齐次线性方程组，根据它的通解的结构，要找到自身的一个解，可选η1。再求Ax=0的通解，n=4，R(A)=3，所以基础解系只含有一个向量。η1,η2,η3是非齐次线性方程组的解，所以2η1-(η2+η3)＝η1-η2+η1-η3是齐次线性方程组的解，可作为基础解系。
由此就可以写出非齐次线性方程组的通解，如图所示。
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