若一个等腰三角形能被一条直线分成两个等腰三角形,写出该三角形的顶角度数,并作出分割方案

并且求证没有第五种方案

2025-02-06 23:58:19

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回答1：

它们的顶角分别为：90°、108°、36°、(180/7)°。

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首先，这条直线必须经过顶点，不然得到的两个图形中一个是三角形，另一个是四边形，那么经过等腰三角形的顶点，又可以将等腰三角形分成两个等腰三角形，分两种情况进行：

⑴过顶角顶点的直线：如图一：已知AB=AC，①AD=BD，AD=CD，

这时ΔABD≌ΔACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC，又∠ADC+∠ADB=180°，

∴∠ADB=90°，又AD+BD，∴ΔABD是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=90°，即ΔABC是等腰直角三角形。

②AD=BD，AD=AC，∵∠ADC=∠C>∠B，与∠B=∠C矛盾。③AD=BD，AC=CD，∵∠CDA=∠CAD=∠DAB+∠DBA=2∠B=2∠C，∴在ΔACD中，5∠C=180°，得∠C=36°，∴∠BAC=108°。以上由于其它情况的对称关系，已经考虑了所有的可能性。

⑵过底角顶点的直线：如图二，AB=AC，首先，AB>AD，ΔABD中只考虑AD=BD，其次∠DBC<∠ABC=∠C，∴BD>CD，不必考虑BD=CD。

分以下两种情况：①AD=BD，BD=BC，∠BDC是ΔABD的外角，∴∠BDC=∠DAB+∠DBA=2∠A，∴∠C=∠BDC=2∠A，∴∠ABC=2∠A，

在ΔABC中：5∠A=180°，∠A=36°。

②AD=BD，BC=CD，这时∠BDC=2∠A，∴∠DBC=∠BDC=2∠A，∠C=180°-4∠A，

在ΔBC中，∠B=∠C=180°-4∠A，根据三角形内角和为180°得方程：360°-8∠A+∠A=180°，7∠A=180°，∠A=(180/7)°，通过以上的分析总结出：

一条直线分为两个等腰三角形的等腰三角形存在四种情况，它们的顶角分别为：90°、108°、36°、(180/7)°。

回答2：

除了等腰直角三角形，斜边上的高可以把它分成二个全等的等腰直角三角形之外，如图的两个三角形都可以用一条直线把它分成二个等腰三角形。

第一个三角形∠A=36°、∠B=∠C=72°，过B的直线分它成二个等腰三角形，其中一个∠B=36°、∠C=∠D=72°；另一个∠D=108°、∠A=∠B=36°。

第二个三角形∠A=108°、∠B=∠C=36°，过A的直线分它成二个等腰三角形，其中一个∠C=36°、∠A=∠D=72°；另一个∠D=108°、∠A=∠B=36°。

回答3：

除了等腰直角三角形斜边上的高可以把一个三角形分成两个等腰三角形外，还有顶角为32度的等腰三角形，也能用一条直线把它分成两个等腰三角形。如图，设等腰三角形ABC中，AB=AC

D是腰AB上的一个点，满足AD=CD=BC

设三角形ABC的顶角A为x度，底角B和ACB为y度

那么，y=2x 2y+x=180

因此 x=36

所以，当顶角为36度时，等腰三角形ABC被线段CD分成两个等腰三角形ACD和BCD

回答4：

顶角度数是90度，也就是原三角形为等腰直角三角形，沿底边上的高为直线分割两个三角形即可，又分为两个等腰直角三角形。

回答5：

只有等腰直角三角形能满足
首先要证明若从底边引线分割是不可能满足2个三角形都为等腰三角形。方法是反证法，根据三角形内角和为180得出底边所在角为直角。
排除以上情况后，只能从顶角划分。