设函数f(x)=lnx-ax2-bx.(1)当a=b=12时,求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx(0<x≤3)

2025-01-19 23:27:14
推荐回答(1个)
回答1:

(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=b=

1
2
时,f(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x,
f'(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
?(x+2)(x?1)
2x

令f'(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).
当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)是增加的;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)是减少的.
所以f(x)的极大值为f(1)=-
3
4

即f(x)的最大值是-
3
4

(2)F(x)=lnx+
a
x
,x∈(0,3],
则有k=F'(x0)=
x0?a
x02
1
2
在(0,3]上恒成立,
所以a≥(-
1
2
x02+x0)max,
当x0=1时,-
1
2
x02+x0取得最大值
1
2
,所以a≥
1
2