求这个函数的间断点,并判断间断点类型?

2025-01-21 09:22:54
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回答1:

答:对于 y=lim(t→+∞)[1-xe^(tx)]/[x+e^(tx)]
当x>=0时,tx>=0, y=lim(t→+∞){d[1-xe^(tx)]/dt}/{d[x+e^(tx)]/dt}
=lim(t→+∞)x^2e^(tx)/xe^(tx)=x; 连续。
当x<0时,tx<0; y=lim(t→+∞)e^(-tx)[1-xe^(tx)]/e^(-tx)[x+e^(tx)]
=lim(t→+∞)[e^(-tx)-1]/[xe^(-tx)+1]; 当x=-1时,分母为0,间断点为x=-1,
若x≠-1, y=lim(t→+∞)[e^(-tx)-1]/[xe^(-tx)+1]=lim(t→+∞)-x/(-x^2)=1/x, 连续。
所以,x=-1时定义y=-1; 则函数在区间(-∞,+∞)连续。所以,x=-1是第一类间断点,为可去间断点。

回答2:

根据函数表达式判断x=0,为函数的间断点,然后分左右极限讨论。可得右极限为0左极限不存在,为第二类间断点