0.999…的产生

2025-01-23 03:53:23

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回答1：

在完备的实数系中，循环小数0.999…，也可写成、或表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999…”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被专业数学家所接受，并在教科书中讲授。这个等式已有各种各样的证明，它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的阿基米德性质、历史文脉、以及目标受众。有人认为可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。其中最关键的一点是： 1－0.99…=1/10ⁿ（n→∞）。 1/10ⁿ×10ⁿ=1 （n→∞）。因为0乘以任何数都等于0 所以 1/10ⁿ（n→∞）。（1/10ⁿ × 10ⁿ ）（n→∞）并不能拆分为但是在极限运算中 1/10ⁿ（n→∞）×10ⁿ（n→∞），因为10ⁿ（n→∞）极限不存在，不满足极限四则运算的前提条件。因此这种论证是错误的 (直觉告诉我们，0.99…≠1。数学家告诉我们，0.99…=1。完全可以根据数学运算证明直觉是正确的。
可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。其中最关键的一点是：1－0.99…=1/10n（n→∞）。但是不难证明1/10n（n→∞）≠0 。
因为0乘以任何数都等于0。但是则不然。
请看〈前苏联〉著名的数学家鲁金教授关于无穷小的“最重要的性质”的论述的注解中的说明：“所证明的无穷小的第一个性质必须要求：所加起来的无穷小的总个数m，一直是固定的，即有限的。
这个限制是绝对不可省的，因为，假若所加起来的无穷小的个数m不是固定的（即非有限的），例如当每项趋近零时，这个个数也无限增大起来，那么第一个性质就可能不对了。在这种情况下，这些无穷小之和α+β+γ+…+μ可能不再是一个无穷小。这种情况正是积分学里经常用到的。
例如，我们有n个变量α，β，γ，…，ν，每个都等于1/n，即
α=1/n，β=1/n ，γ=1/n，…，ν=1/n。
当它们的个数无限增加时，每一个量显然都趋近于0，所以它们都是无穷小。但另一方面，它们的和
σ=α+β+γ+…+ν=1/n+1/n+1/n+…+1/n=n×1/n=1，
无论何时，恒等于1。” 注：〈苏联〉鲁金《微分学》谭家岱张理京译高等教育出版社 1954年上海第1版§39，61-62页。
⑶根据鲁金的这个注解，容易判定：
1/10n×10n=1 （n→∞）。
所以1/10n（n→∞）≠0。
这个结果彻底否定了0.99…=1。
在数学中，一个反例足以推翻原来的结论。
求1/e的运算进一步证明了0.99…≠1是确实的上面的结果在微积分的运算中得到了实际应用。微积分中的一个非常重要的极限是：
可以根据这个结果进一步证明0.9…≠1。如下。① 前提1：。（1）
② 前提2：
根据这个结果，容易推出下面的结果：
（3）（求e 及(1/e)的运算可以参考〈美〉R·柯朗 H·罗宾著 I·斯图尔特修订《什么是数学》增订版左平张饴慈译复旦大学出版社2005年2月第2版，特别是第8章4节。补正的关键只不过是利用10n 及(1/10n)代换了式中的n及 (1/n) 而已，相当于一道习题。这是数学中常见的代换，没有什么神秘。这个运算结果在详细一些的微积分教科书中也可以查到。所以这个证明没有问题。只是一般人甚至鲁金也没有想到可以利用
，然后把它带入求（1/e）的运算结果，从而证明了0.999…≠1 。）注意：现在分别利用
和
代替（2）中的1/n和n。显然结果不变：
这是整个证明的关键。详细写出如下：在n=1 时：（1-1/10）10= 0.910 = 0.3486784401 . （5）式中出现了（1-1/10）的10次方，也就是0.9的10次方。在n=2时：（1-1/100）100= 0.99100 = …. （6）现在的式中是（1-1/102）的102方，即0.99的100次方。在n=3时：（1-1/1000）1000= 0.9991000 = …. （7）现在是（1-1/103）即0.999的103次方了。这样详细写的目的是为了突出这个系列运算与0.9，0.99，0.999，…系列有关系。……最后，在n→∞的时候，就得到：

请特别注意，其中第二项说明它就是0.999…这个数的10n次方，所以一定要强调：0.999…=1-1/10n。为了更明确，把（8）式展开。读者可以查阅有关二项式定理或者二项式展开式的公式，自己计算。
注意展开式中的第二项，即是（不考虑符号）：

显然，这里应用了前面已经证明的结果。把（1）与（8）比较，显然：
从而：∴0.999…≠1 。（10）证毕。
最常用的证明0.99…=1的过程中存在错误
证明:0.99…=1的一个最常用的证明是利用1÷3=1/3= 0.333…。其中存在明显的错误。正确的写法如下： 1÷3=1/3 （1）
=（0.9+0.1）÷3 [=(1- 1/10+1/10)÷3] = 0.3+0.1÷3 （2）
=0.3+（0.09+0.01）÷3= 0.33+0.01÷3 （3）
=… (4)
这才是正确的、严格的写法。容易看出，1/3= 0.333…的写法其实只是忽略了（5）中的最后一项
，却没有忽略前面一个括弧中的10n那一项。同样都是1/10n，只忽略后面一项，而保留前面一项，显然是不合逻辑的。
而1÷3=1/3= 0.333… （7）的错误写法只可以唬住小学生。对于学习过数学中的指数表示法的中学生和大学生来说，（1）到（5）的写法的正确性不言而喻！所有关于0.99…=1的证明中都存在错误。限于篇幅，不一一驳斥。
0.999…≠1带来的问题容另行解答0.999…≠1的结论是正确的。不应该再怀疑了。0.999…≠1的结论有颠覆性，会带来若干新问题0.999…显然不是有理数，而是无理数。鲁金教授对无限循环小数有怀疑。有道理。见下面括弧1。分数应该利用科学数字表示法表示，即利用有限小数加利用指数表示的小数，例如前面的这样的写法才是完全正确的。这样也符合牛顿的意见：“在数学中即使最微小的误差也不应该忽略。” .牛顿《曲线求积术》，转引自李文林主编《数学珍宝》[M] 科学出版社北京1998年10月第1版284）)（〈苏联〉鲁金《微分学》谭家岱张理京译高等教育出版社 1954年上海第1版，§11，13页。详细如下：“在OM与单位长度可通约时，也就是，在M点具有某个有理数p/q的横坐标时，我们讲的度量步骤显然也是适用的。只有在这种情况下，像初等数学中所讲的，不尽小数才会是循环的（纯粹的或混合的）。一般算术中，在这种情况下，写作下面的惯例等式①

(下面略。李长白注)”鲁金在注释中写道：“① 要是注意到这个等式的惯例性，读者就对了：真正的等号‘=’只有当它的左右两边都是真正的数时，才是写得合适的。这里左边是个真正的数p/q；而右边不是数，只是一个不尽符号，是用来给出左边那个真正的数的十进位近似值。只有当从某个号码k起数码an都等于0时：

这个惯例等式才变成真正等式。在这种情况下，我们有真正的等式：
,
其中右边的和是由有限项所组成的，它们全部可以实际加起来。”）

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