高数二阶导数问题

lim(x->0) x^α .sin(1/x) =0
=>α >0
ie α >0 , x=0 , f(x) 连续
f'(0)

=lim(h->0) [x^h .sin(1/h) - f(0) ]/h
=lim(h->0) x^(h-1) .sin(1/h)
=0
=>
α-1 >0
α>1
ie , α>1 , x=0 , f(x) 可导
x≠0
f'(x) = αx^(α-1) .sin(1/x) - x^(α-2) .cos(1/x)
f''(0)
=lim(h->0) [ αh^(α-1) .sin(1/h) - h^(α-2) .cos(1/h) - f'(0) ] /h
=lim(h->0) [ αh^(α-2) .sin(1/h) - h^(α-3) .cos(1/h) ]
=0
=>
α-3 >0
α >3
ans : D

貌似不够严谨二阶导数确实f''(x)>g''(x) 但是使用泰勒展开之后不能判断ξ和η的大小即最后一项不能直接判定实际上令y=f(x)-g(x)，x=a时为0 求导先为y'=f'(x)-g'(x)，x=a时等于0 再求导y''=f''(x)-g''(x)恒大于0 即一阶导数单调递增，一定大于0 那么x>a之后，当然f(x)>g(x)