射影几何学的内容

2025-02-07 14:52:00

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回答1：

概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来。
扩大空间和射影空间　在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得复杂。为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后的平面就叫做扩大平面。扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。
同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平）面。添上无穷远面后的空间叫做扩大空间，它也是闭的。在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点，而且平行平面交于一条无穷远直线，一条非无穷远直线和一个与它平行的平面交于一个无穷远点。
如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直线和射影平面。在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外，每两点总决定一条直线，每三个不共线点总决定一个平面，等等。

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