由平面上曲线积分与路径无关的条件可得
＝?Q ?x
＝2x，从而可得?(2xy) ?y
Q（x，y）=x2+C（y），
其中，C（y）待定．
因为积分与路径无关，取 （0，0）→（t，0）→（t，1），
则
2xydx+Q(x，y)dy
∫
=
[t2+C(y)]dy
∫
=t2+
C(y)dy．
∫
取 （0，0）→（0，t）→（1，t），则
2xydx+Q(x，y)dy
∫
=
C(y)dy+
∫
2txdx
∫
=
C(y)dy+t．
∫
由题设
2xydx+Q(x，y)dy=
∫
2xydx+Q(x，y)dy 可知，
∫
t2+
C(y)dy=
∫
C(y)dy+t．
∫
两边对t求导可得，
2t=C（t）+1，
所以 C（t）=2t-1，
从而 C（y）=2y-1．
故有，
Q（x，y）=x2+2y-1．
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