自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

2025-02-07 07:19:24

推荐回答（3个）

回答1：

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

回答2：

这两个公式应该用数学归纳法来证明!
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
至于第二问,你自己可以参照这种方法来证明,我相信你一定能行!

回答3：

若n＝2m
首尾两项凑平方
[(1+n)^2-2*1*n]+[(2+(n-1))^2-2*2*(n-1))]+...+[(m+m+1)^2-2*m*(m+1)]=
n*(n+1)^2-2[1*2m+2*(2m-1)+...+m*(m+1)]
又
1*2m+2*(2m-1)+...+m*(m+1)=
1*2m+2*(2m-1)+...+m*[2m-(m-1)]=
2m*(1+2+...+m)-[2*1+3*2+...+m*(m-1)]=
m^2(m+1)-[1*(1-1)+2*(2-1)+m*(m-1)]=
m^2(m+1)-[1^2+2^2+...+m^2-(m*(m+1)/2)]
又1^2+2^2+3^2+……+n^2＝1^2+2^2+3^2+……+m^2＋（m+1）^2+...+(m+m)^2
1^2+2^2+3^2+……+m^2＝A
1^2+2^2+3^2+……+n^2=2A+m^3+2m(m*(m+1)/2)
两边有2A+m^3+m^2*(m+1)=n*(n+1)^2-2{m^2*(m+1)-[A-(m*(m+1)/2)]}
结果A没了
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