自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导

2024-12-22 21:33:08

推荐回答（4个）

回答1：

平方和的推导利用立方公式：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①

记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

对①式从1~n求和，得：

∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

类似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1

例如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去掉中间步，将右边第一项移到左边得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

两边分别相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常见数列求和的方法：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

参考资料来源：百度百科-数列求和

回答2：

回答3：

平方和的推导利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1

①
记Sn=1²+2²+....+n²，
Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6
类似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：
2^3=
(1+1)^3
=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=
(2+1)^3
=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=
(3+1)^3
=3^3+3*3^2+3*3+1
.
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(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中间步，将右边第一项移到左边得：
2^3
-
1^3=3*1^2+3*1+1
3^3
-
2^3=3*2^2+3*2+1
4^3
-
3^3=3*3^2+3*3+1
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(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+......
+n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+......
+n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+......
+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常见数列求和的方法：
1、公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2、错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)
3、裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
参考资料来源：搜狗百科-数列求和

回答4：

先构造，后叠加

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