楼主讲义上的结果是对的，这样的问题，解答方法、思路如下：
1、原来的积分区域，请参看下面的第一张图片，全天蓝色的积分区域；
对此区域积分，先积分y方向，就是从y=x到y=2x+1；
对y积分，就是一条条竖直细线，每条细线从x=0排列到x=1。
这就是已知的积分的上下限的来源。
2、交换积分顺序后，区域没有变，但是积分区域变成了两个三角形；
对于粉红色的三角形：
先积分x方向，就是一条条横线从x=0，穿到x=y；
每一条这样的横线，从y=0堆积到y=1。
对于草绿色的三角形：
先积分x方向，就是一条条横线从x=y/2 - 1/2，穿到x=y；
每一条这样的横线，从y=1堆积到y=3。
具体过程，请参看：
并不想看见高数，
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