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计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}

计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}．
2025-01-21 06:33:08
推荐回答（1个）
回答1：


做变量代换X＝x?

1
2
，Y＝y?
1
2
，
则D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}={（X，Y）|X2+Y2≤
3
2
}，
所以：
I=
?
D
(x+y)dxdy=
?
D
(X+Y+1)dXdY=
?
D
XdXdY+
?
D
YdXdY+
?
D
dXdY．
因为D在（X，Y）坐标系下是一个圆，且X，Y分别是关于X，Y的奇函数，
所以有：
?
D
XdXdY=0，
?
D
YdXdY=0，
又：易知 
?
D
dXdY=SD=
3
2
π，
所以：I=
3
2
π．

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