射影几何学的射影几何的子几何

2025-02-07 09:42:56

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回答1：

射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。
为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。
在扩大仿射平面上，令无穷远线□0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成
□ (8)一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。
在扩大仿射平面的无穷远线□0□=0上，取两个共轭虚点□1(0,1,i),□2(0,1,-i),式中i2=-1。令点偶□1,I2（即□，□0=0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的形状，但其中(□□)是正交方阵乘以一个常数：□一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群），它是仿射群的子群，也是射影群的子群。有了□1,□2两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面，它上面的一切圆都经过□1□，□2。这两点就叫做无穷远圆点。
在相似变换中，系数□□□构成正交方阵 (即□□=±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(□□)=1的叫做正常运动，det(□□)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和相似群的子群。
已给一个空间□ 以及作用于它上面的变换所构成的一个群□，就可以判断，在□里，哪些图形性质经过□中的变换不变，研究这些性质的几何就叫做属于□的几何。若□1是□的子群，属于□1的几何就叫做属于□的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群，但又部分地属于全等群；因为它既研究相似图形，又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。
群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。
空间□的图形还可以通过变换群□分类：把一切可以经过□的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。
两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线□□变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线□变为自己，并把它的内部（即□的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。
射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即□）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明；四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。
上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的□0=0，对于相似群的□，对于椭圆群的□等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。
以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是□□，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是□□。

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