15问答网 > 已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线y=x 2 +px+q与x轴有

已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线y=x 2 +px+q与x轴有

2025-01-20 03:35:12

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回答1：

（1）把x=2代入得2² +2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x² +px+q=0的判别式△=p² -4q＞0，
由（1）得△=p² +4（2p+5）=p² +8p+20=（p+4）² +4＞0，（3分）
∴一元二次方程x² +px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x² +px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）抛物线顶点的坐标为 M(-

，

4q- p 2

) ，（6分）
∵x₁ ，x₂ 是方程x² +px+q=0的两个根，
∴

x 1 + x 2 =-p

x 1 x 2 =q

，
∴ |AB|=| x 1 - x 2 |=

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2

p 2 -4q

．（7分）
∴ S △AMB =

|AB|?|

4q- p 2

( p 2 -4q)

p 2 -4q

，（8分）
要使S_△AMB 最小，只须使p² -4q最小．
由（2）得△=p² -4q=（p+4）² +4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB =1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x² -4x+3．（10分）